1. Solusihomogendarirelasirekurensibn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 dengan kondisibatas b0 = 0 , b1 = 1 adalah
a. bn(h)= A1 (-3)n+ A2 . 2n c. (a + 3) (a - 2)
b. bn(h) = (-3)n + . 2n d. b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20
Jawab
bn+ bn-1 – 6 bn-2 = 0
= a2 + a - 6 = 0
= (a + 3) (a - 2) = 0
a1 = -3 a2 = 2.
solusihomogen = bn(h)= A1 a1n+ A2 a2n =>bn(h)= A1 (-3)n+ A2 . 2n
Dengankondisibatas b0= 0 dan b1= 1 ,maka:
b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 => 0 = A1 + A2 .
b1(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 => 1 = -3 A1 + 2 A2
makaakandiperolehharga A1 = (- ) dan A2 =
jawabhomogendarirelasirekurensibn+ bn-1 – 6bn-2 = 0 adalah
bn(h) = (-3)n + . 2n
2. Manadiantaraberikut yang merupakansolusidarirelasirekurensidari :
an + 4 an-1 + 4 an-2 = 2n .
a. an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n , an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
b. an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
c. an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,
d. an(h) = (A1 nm-1) an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
Jawab :
Relasi rekurensi homogen : an + 4 an-1 + 4 an-2 =0.
Persamaan karakteristiknya adalah a2 + 4 a + 4 = 0
(a+ 2) (a + 2) = 0
hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = a2 = -2 , m = 2,
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda,
maka solusi homogennya berbentuk an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
3.Diketahui : Suatubarisan c0, c1, c2, … didefinisikansecararekursifsebagaiberikut :
Untuksemuabilanganbulat k ≥ 2,
Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1)
Dengankondisiawal c0 = 1 dan c1 = 2.
Ditanya :Hitunglah c5 !
Penyelesaian :
Olehkarenabarisandidefinisikansecararekursif, maka c5 tidakbisadihitungsecaralangsung, tetapiharusterlebihdahulumenghitung c2, c3 dan c4.
· c2 = c1 + 2 c0 + 1 =
2 + 2.1 + 1 = 5
· c3= c2 + 3 c1 + 1 =
5 + 3.2 + 1 = 12
· c4= c3 + 4 c2 + 1 =
12 + 4.5 + 1 = 33
· c5= c4 + 5 c3 + 1 =
33 + 5.12 + 1 = 94
Jadi, c5 = 94
a. C5 = 90
b. C5 = 92
c. C5 = 84
d. C5 = 94
4.Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 0 , b1 = 1 .
a. bn(h) = .3n + .2n
b. bn(h) = (-3)n + 2n
c. bn(h) = (-3)n + .2n
d. bn(h) = (-2)n + .3n
Penyelesaian :
Relas irekurensi tersebut adalah relasi rekurensi homogen , karena f(n) = 0 . Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2 + a - 6 = 0 atau (a+ 3) (a - 2) = 0
hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3 dan a2 = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) = A1a1n + A2 a2n Þ bn(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n. Dengan kondisi batas b0 = 0 dan b1 = 1 ,maka
b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 Þ 0 = A1 + A2 .
b1(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 Þ 1 = -3 A1 + 2 A2 .
bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah bn(h) = (-3)n + .2n .
5. Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi
4 an - 20 an-1 + 17 an-2 – 4 an-3 = 0.
a. an(h) = (A1 n + A2 ) (½)n + A1 . 4n.
b. an(h) = (A2 n - A1 ) (½)n + A3 . 4n.
c. an(h) = (A1 n - A2 ) (½)n + A3 . 3n.
d. an(h) = (A1 n + A2 ) (½)n + A3 . 4n.
Penyelesaian :
Persamaan karakteristiknya : 4 a3 - 20 a2 + 17 a - 4 = 0
akar-akar karakteristiknya ½ , ½ dan 4
solusi homogennya berbentuk an(h) = (A1 n + A2 ) (½)n + A3 . 4n.
6 an - an-1 =2n2,n 1, dan a0 = 9 ……
a) 5 + (n) (n+1)(4n+2)
b) 9 + (n) (n+1)(2n+1)
c) 2 + (n+2)(n)(n+2n)
d) 9 + (n)(n+1)(2n+1)
Jawaban B
Penyelesaian
f(n) = 2n2, sehinggasolusiumumnya :
n = 0 + (i)
= 0 + 2
= 0+ 2
= 9 + (n) (n+1)(2n+1)
7. Diketahui relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Selesai kan untuk suku ke-n!
a. 2n
b. 4n
c. n
d. 2
Penyelesaian Dengan iterasi diperoleh:
Sn = 2Sn-1
= 2 (2Sn-2) = 2Pangkat2 Sn-2
= 2pangkat3Sn-3
= ………
= 2nS0
= 2n
8. Berapa banyak kah bilangan Fibonacci antara 10 sampai dengan 100 ?
a 90
b 9
c 5
d 10
Jawab :
Dari tabel di atas, terlihat bahwa bilangan Fibonacci yang terletak antara 10 hingga 100 adalah sebanyak 5 (lima) buah, yaitu suku ke-6 (13), suku ke-7 (21), suku ke-8 (34), suku ke-9 (55), dan suku ke-10 (89). Dengan demikian, jawabannya adalah (C) 5.
9. Dengan mengambil satu harga n kemudian anda menjumlahkan bilangan-bilangan tsb mulai dari f1 s.d fn maka berapakah n terkecil agar jumlah itu > 150?
a. 9
b. 10
c. 11
d. 15
Jawab :
Dari tabel di atas juga, dapat kita ketahui bahwa nilai n terkecil agar jumlah seluruh bilangan Fibonacci dari f1 hingga fn > 150 adalah sebesar 10 (n=10), yang akan menghasilkan jumlah sebesar 231 (diperoleh dari = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89, yang merupakan bilangan fibonacci dari suku ke-1 hingga suku ke-10). Sehingga, jawaban yang benar adalah (b) 10.
10. Selesaikan relasi rekurensi an = 7an -1 , n > 1, a2= 98
a. an= 7n (2) , n > 1
b. an= 7n (1) , n > 0
c. an= 7n , n > 2
d. an = 7n (2) , n > 0
Penyelesaian
Untuk n = 1 maka a1 = 7 a0 a2 = 7 a1 = 7 (7 a0) = 72a0 dari a2 = 98 maka 98 = 49 a0
sehingga diperoleh a0 = 2. Jika relasi rekurensi tersebut dideretkan terusakan diperoleh:
a3 = 7 a2 = 7 (7 pangkat 2 a0) = 7 pangkat 3 a0 ..........dan seterusnya
sehingga penyelesaian umum dari relasi rekurensi di atas adalah
an = 7n (2) , n > 0
11. Jika diketahui Hanoi Tower memiliki 5 cakram berapakah langkah paling singkat untuk menyelesaikan permainan tersebut ? (Dengan menggunakan rumus (2n – 1) dimana n adalah banyaknya cakram).
a. 16 cara
b. 64 cara
c. 32 cara
d. 8 cara
e. semua jawaban salah
Jawab :
5 Cakram = 25
Jadi jawabannya 25 = 32 (c)
Add Your Comments